ej 40 y 44

ej 40

ej 44

Ejercicios del examen : 22 y 48

ej 48

                                  ej 22

Ecuaciones polinómicas

Esta ecuación ax+b=0 se resuelve en el video anterior y nos muestra 3 soluciones que son:


1ºCompatible determinada si a es diferente de 0 la solución será un numero entero
2ºCompatible indeterminada cuando a=0 y b=0 la solución son todos los números reales infinitos
3ºIncompatible cuando a=0 y b es distinto de 0 la solución es que no hay ningún valor de x que cumpla la igualdad.

Tema 3 ecuaciones

Identidad de Sophie Germain

SOPHIE GERMAIN

Sophie Germain

BIOGRAFIA
Marie-Sophie Germain ( 1 de abril de 1776 – 27 de junio de 1831) fue una matematica francesa que hizo importantes contribuciones a la teoría de números y la teoría de la elasticidad. Uno de los más importantes fue el estudio de los que posteriormente fueron nombrados como números primos de SophieSus padres se opusieron a que estudiara matemáticas hasta que no tuvieron opción y lo aceptaron. Germain no podia ir a la escuela porque no aceptaban mujeres; pero se las arreglaba para recibir apuntes de los profesores. A ella le atrajo el análisis de Lagrange y bajo un nombre ficticio le escribió una composición. A éste le impresionó tanto, que averiguó quien era y fué a su casa a decirle lo impresionado que estaba. Esto le dio a Germain ánimo para tener el coraje de seguir estudiando matemáticas. Como resultado de un libro escrito por Gauss, Germain le escribió usando el mismo pseudónimo que habia usado con Lagrange. Gauss se interesó tanto en sus observaciones, que mantuvieron correspondencia por varios años. En 1807, Gauss se enteró del verdadero nombre de Germain. Ella temía que a Gauss le sucediera algo y envió unas tropas a la casa de él para asegurarse de que estuviera bíen. Cuando los soldados le hablaron de Germain, él les dijo que no la conocia. Luego, por cartas se esclareció la situación.Germain trabajó en el problema de la ley matemática de vibraciones de superficies elásticas. En 1811 sometió un trabajo al respecto a la Academia Francesa de las Ciencias (anónimamente); pero fue criticada por la falta de precisión al pasar de una linea a una superficie. En 1813 sometió otro trabajo del mismo tema y en 1816 ganó el primer lugar situándola entre los mejores matemáticos. Esto hizo que la aceptaran entre los círculos de matemáticos. Continuó escribiendo sobre distintos problemas malemáticos y continuó intercambiando correspondencia con Gauss. Este pidió a la Universidad de Göttingen que le dieran el grado de doctora; pero el 26 de junio de 1831 murió, antes de poder recibir el grado.


SUS DESCUBRIMIENTOS FUERON :

 La teoría de números fue la demostración matemática de la siguiente proposición: si x, y, z son enteros y x5 + y5 = z5, entonces al menos uno de ellos (x, y, o z) es divisible por cinco. Esta demostración, que fue descrita por primera vez en una carta a Gauss, tenía una importancia significativa ya que restringía de forma considerable las soluciones del último teorema de Fermat, el famoso enunciado que no pudo ser demostrado por completo hasta 1995.
Una de sus más famosas identidades, más comúmente conocida como Identidad de Sophie Germain expresa para dos números x e y que:

Sus primeros trabajos en Teoría de Números los conocemos a través de su correspondencia con Gauss. Entre 1804 y 1809 Sophie escribió a Gauss una decena de cartas en las que le comentaba sus investigaciones. Las primeras estaban firmadas con el pseudónimo Le Blanc. En 1819 se reanudó esta correspondencia.En 1808 comunicó a Gauss su más brillante descubrimiento en Teoría de Números. Demostraba que si x, y, z son números enteros, tales que x 5 +y 5 +z 5 =0 entonces, al menos uno de los números x, y o z debe ser divisible por 5. Más tarde generalizó este resultado en el teorema que hoy lleva su nombre.

Proposición de raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros

Ejemplos de fracciones algebraicas

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por: 

P(x) es el numerador.

Q(x) es el denominador.

Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas

son equivalentes, y lo representamos por:

si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).

Ejemplo 

son equivalentes porque:

(x+2) · (x− 2) = x² − 4

Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de dicha fracciónpor un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica resultante es equivalente a la dada.

Simplificación de fracciones algebraicas

Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.

Ejemplo 

Amplificación de fracciones algebraicas

Para amplificar una fracción algebraica se multiplica elnumerador y el denominador de la fracción por un polinomio. 

Ejemplo 

Factorizar un polinomio de grado 6

Bicuadradas

Factorizar un polinomio que no tenga raíces reales

Proposición de polinomios con grados mas grandes

Factorizar un polinomio con Ruffini

Regla de Ruffini

Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableción un método más breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a.
Regla de Ruffini
Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:
(x⁴ − 3x² + 2 ) : (x − 3)
1 Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.
4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8El último número obtenido, 56 , es el resto.

9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido. 

x³ + 3 x² + 6x +18

2º proposición con polinomios de segundo grado

Las raices de un polinomio de grado 2